排列 & 组合

✏️ 1、排列

1.1、全排列

1.2、全排列（有重复元素）

1.3、第k个排列

给出集合 [1,2,3,…,n]，其所有元素共有 n! 种排列。按从小到大的顺序列出所有排列情况，返回第 k 个排列。

说明：给定 n 的范围是 [1, 9]。 给定 k 的范围是[1, n!]。

思路：确定了 $a_1$ 后，这些排列从编号 $(a_1 - 1)\cdot(n - 1)!$ 开始，到 $a_1\cdot(n - 1)!$ 结束，总计 $(n - 1)!$ 个，因此第 k 个排列实际上就对应着这其中的第 $k \prime =(k−1)mod(n−1)!+1$ 个排列。这样一来，我们就把原问题转化成了一个完全相同但规模减少 1 的子问题：求 $[1, n] \backslash a_1$ 这 $n - 1$ 个元素组成的排列中，第 $k\prime$ 小的排列。

string getPermutation(int n, int k) {
    vector<int> factorials = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};
    vector<int> nums(n, 0);
    iota(std::begin(nums), std::end(nums), 1);
    string ret;
    k --; // 从第 0 个开始
    for(int i = n - 1; i >= 0; i --){
        auto it = nums.begin() + k / factorials[i];
        ret += ('0' + *it);
        nums.erase(it);
        k %= factorials[i];
    }
    return ret;
}

对于给定的排列 $a_1, a_2, \cdots, a_n$，你能求出 k 吗？

解答： $k = \left( \sum_{i=1}^n \textit{order}(a_i) \cdot (n-i)! \right) + 1$ ，其中 $\text{order}(a_i)$ 表示 $a_{i+1}, \cdots, a_n$ 中小于 $a_i$ 的元素个数。

✏️ 2、组合

✏️ 3、子集